Le théorème d'approximation se généralise dans deux directions : à la place de l'intervalle compact [a,b], un espace séparé ou espace de Hausdorff compact arbitraire X peut être considéré, et à la place de l'algèbre des fonctions polynômes, une approximation avec des éléments d'autres sous-algèbres de C(X) peut être envisagée. La propriété cruciale, que la sous-algèbre doit vérifier, est qu'elle sépare les points : on dit qu'un sous-ensemble A de C(X) sépare les points si pour tout couple de points différents x et y de X et tout couple de nombres réels a et b il existe une fonction p de A telle que p(x) = a et p(y) = b. Formellement le théorème s'écrit :
si X est un espace de Hausdorff compact ayant au moins deux éléments, et si A est une sous-algèbre de l'algèbre de Banach C(X) qui sépare les points et contient une fonction constante non nulle, alors A est dense dans C(X).
Cela généralise le théorème de Weierstrass puisque les polynômes sur [a,b] forment une sous-algèbre de C[a,b] qui sépare les points.
Remarquons que le théorème précédent reste aussi vrai si nous remplaçons l'assertion que A sépare les points avec la légèrement plus faible assertion que pour tout couple de points distincts x et y de X, il existe une fonction p dans A telle que p(x) soit distinct de p(y).
En se ramenant par changement de variables à l'intervalle [0,1], Bernstein en a donné une démonstration constructive en prouvant qu'on pouvait prendre :
Les sont les polynômes de Bernstein.
L'ensemble C([a,b]) des fonctions continues sur [a,b] à valeurs réelles, muni de la norme infinie , est une algèbre de Banach, (i.e. une algèbre associative et un espace de Banach telle que pour toutes f et g, ||fg|| ≤ ||f|| ||g||). L'ensemble des fonctions polynomiales forme une sous-algèbre de C([a,b]), et le théorème d'approximation de Weierstrass dit que cette sous-algèbre est dense dans C([a,b]).
Alors maintenant ferme ta grande gueule et médite la dessus bande de sale taré